HOTLINE

Kể chuyện về các công thức toán học

Trong lĩnh vực toán học ở phổ thông, học sinh thường hay gặp rất nhiều bài toán sử dụng những bất đằng thức hay định lý nổi tiếng như: bất đẳng thức Cosi, bất đẳng thức Bunhiacopsky, định lý Pytagor.. Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong toán học nhưng lại luôn có sức hấp dẫn với những người yêu toán.  Còn các định lý luôn là trụ cột của toán học và là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Bài viết sau đây của Du học Bluesea hy vọng sẽ đem lại chút kiến thức bổ ích cho các bạn học sinh, nhất là những bạn đang chuẩn bị du học trung học phổ thông có sự tự tin và hứng thú với việc học toán nhé.

1.Bất đẳng thức Cosi (Cauchy)

Bất đẳng thức Cô Si (tên một nhà toán học người Pháp) là một bất đẳng thức được sử dụng nhiều nhất trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trung học phổ thông. Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

Trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Tên gọi đúng của nó là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means ), nhiều người hiểu nhầm Cô si là người phát hiện ra đầu tiên nhưng thực ra ông chỉ đưa ra cách chứng minh hay nhất. Bất đẳng thức Cô si được ứng dụng rất nhiều trong việc chứng minh các bài toán liên quan đến bất đẳng thức mà phần lớn là dùng những quy tắc chung sau đây:

+ Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.

+ Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.

+ Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.

+ Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.

+ Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại.

2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang tên một nhà toán học người Nga nhưng là công trình của 3 nhà toán học. Đầu tiên vào năm 1821, Cô si (Cauchy) chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều. Đến năm 1859, học trò của ông là Bunhiacopxki nhận thấy rằng khi chúng ta lấy giới hạn thì có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong không gian tích trong được chứng minh bởi Schwarz vào năm 1888. Vì vậy tên quốc tế của nó là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hay bất đẳng thức BCS.

Đây là một bất đẳng thức cổ điển và quen thuộc với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bất đẳng thức và cực trị. Trong chương trình toán học phổ thông các học sinh chỉ được học những trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.

3. Định lý Pytagor

Là định lý về hình học rất nổi tiếng trong toán học và được phát biểu như sau:

Trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Công thức:  a2 + b2 =  c2 với c là cạnh huyền còn a và b là hai cạnh góc vuông (hay còn gọi là cạnh kề)

Nếu đã biết chiều dài cả a và b thì cạnh huyền c được tính bằng:

Nếu biết độ dài cạnh huyền c và một trong các cạnh kề a hoặc b thì độ dài của cạnh kề còn lại được tìm bằng công thức :  

Từ đó có thể hiểu như sau:  trong một tam giác, bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì đó là một tam giác vuông.

Tuy nhiên cũng giống như những trường hợp ở trên, Pytagor không phải là người phát minh ra công thức này, ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh đầu tiên. Cách chứng minh của ông rất đơn giản và dễ hiểu, chỉ bằng cách sắp xếp lại các hình vẽ.

Trong 2 hình vuông lớn trên có chứa 4 tam giác vuông bằng nhau, sự khác nhau giữa 2 hình vuông này là cách sắp xếp các hình tam giác bên trong, do vậy 2 khoảng trắng bên trong phải có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép rút ra được kết luận của định lý Pytagor.

Định lý Pytagor đã được chứng minh là có rất nhiều nghiêm (a,b,c) như (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17)… Tuy nhiên nếu lũy thừa bậc cao hơn n > 2 (như lập phương, trùng phương,..) thì sao? Câu hỏi này đã dẫn đến định lý Fermat.

4. Định lý Fermat

Nếu như những nhà toán học trên có công thức được vinh danh vì đã tìm ra cách chứng minh đầu tiên thì nhà toán học Fermat thường phát minh ra định lý mà không công bố chứng minh. Đó là vào năm 1637 khi bàn về định lý Pytagor là bình phương cạnh huyền trong một tam giác vuông bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông, Fermat đã tìm xem có 3 số nguyên x,y,z nào thỏa cho một phương trình như phương trình của Pytagor nhưng ở bậc cao hơn ngoài 2 hay không thì đều thất bại. Từ đó ông phát biểu định lý của mình như sau:

“Không thể phân tích một lập phương thành tổng của hai lập phương, một trùng phương thành tổng của hai trùng phương, hay tổng quát, bất kì một lũy thừa khác 2 thành tổng của hai lũy thừa cùng bậc. Tôi đã tìm thấy được một chứng minh thật tuyệt diệu cho nhận xét này, nhưng rất tiếc lề sách không đủ rộng để ghi ra đây”.

Phương trình:       an   + bn   =  cn   không có nghiệm nguyên n  với mọi  n > 2.

Phát biểu này nhìn rất đơn giản ai cũng hiểu được nhưng để chứng minh nó thì phải mất hàng thế kỷ. Điều đáng tiếc là phải 30 năm sau ngày ông mất, người ta mới phát hiện định lý này của ông được ghi chú bên lề một cuốn số học của Diophantus nên không biết ông đã chứng minh được nó hay chưa. Từ đó, nhiều nhà toán học chuyên và không chuyên đã đau đầu tìm cách chứng minh định lý này nhưng không ai thành công. Mãi đến 1995, tức là sau 3,5 thế kỷ, nhà toán học người Anh Andrew Wiles công bố bản chứng minh đầy đủ và được giới toán học công nhận sau 8 năm kiên trì theo đuổi.

Đầu tiên Wiles công bố mình đã chứng minh thành công định lý Fermat vào 1993, tuy nhiên sau đó 2 tháng, người ta phát hiện chứng minh của ông có một lỗi sai nghiêm trọng. Wiles cùng cộng sự của mình là Taylor đã tìm cách sửa lỗi này nhưng không thành. Trong lúc tuyệt vọng thì có một hy vọng lé lên, đó là một giả thuyết ra đời từ lâu có tên là Shimura-Taniyama được các nhà toán học khẳng định là nếu chứng minh được nó thì sẽ chứng minh được định lý Fermat. Thế là Wiles chuyển sang chứng minh giả thuyết này thành công, từ đó ông liên hệ chứng minh hoàn thiện định lý Fermat. Lời giải dày 200 trang của ông được công bố vào tháng 5/1995 và đến tháng 8/1995 giới toán học đã công nhận chứng minh là đúng.

Vấn đề là Wiles phải vận dụng tất cả những kiến thức toán học hiện đại mới chứng minh được, những điều mà thời Fermat không có. Andrew Wiles sau đó đã được nhận giải Abel 2016 cho công trình thế kỷ này. Và câu chuyện của ông vẫn là niềm cảm hứng cho giới trẻ, những người vẫn xem ông như ngôi sao nạc Rock và xếp hàng chờ chụp ảnh mỗi khi ông xuất hiện. Tuy vậy giới toán học không xem đây chỉ là chứng minh của mình Wiles mà đó là công trình của nhiều người và Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái gọi là chứng minh đúng của định lý Fermat.